第九讲 判别式及其应用

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一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．　
　　[B]1．判定方程根的情况[/B]
　　[B]例1 [/B]已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根．
　　[B]解[/B] 因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以
△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0，
　　即 m＜-1．
　　因为
△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0，
　　所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根．
　　[B]例2 [/B]已知常数a为实数，讨论关于x的方程
(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0
　　的实数根的个数情况．
　　

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实根．
　　当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式
△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，
　　

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　　[B]说明[/B] 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．　
　　[B]2．确定方程中系数的值或范围[/B]
　　[B]例3 [/B]关于x的一元二次方程
　　

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　　有实根，其中a是实数，求a99+x99的值．
　　[B]解[/B] 因为方程有实根，所以

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　　即 -a2-2a-1≥0．
　　因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1．
　　当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以
a99+x99=(-1)99+199=0．
　　[B]例4 [/B]若方程
x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0
　　有实根，求a，b的值．
　　[B]解[/B] 因为方程有实根，所以它的判别式
△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，
　　化简后得
2a2+4ab+4b2-2a+1≤0，
　　所以 　　　　　　　(a+2b)2+(a-1)2≤0，
　　

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　　[B]说明[/B] 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．
　　[B]例5 [/B]△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程
2x2-12x+m=0
　　的两个根，求m的取值范围．
　　[B]解[/B] 设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由
△=122-4?2?m=144-8m≥0
　　

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　　并且不等式
25=a2＞(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，
　　

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　　[B]3．求某些方程或方程组的解[/B]
　　[B]例6 [/B]求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解．
　　[B]解[/B] 先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即
5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0．
　　因为x是实数，所以判别式
△=(8y-2)2-4?5?(5y2+2y+2)≥0，
　　化简后整理得
y2+2y+1≤0，
　　即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得
5x2-10x+5=0，
　　故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．
　　[B]说明[/B] (1)本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．
　　(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为
4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，
　　从而x=1，y=-1．
　　[B]例7 [/B]解方程组
　　

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　　[B]解[/B] 引入待定系数k，由k?①+②得

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　　或写成
　　

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△=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0．
　　

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　　即
　　

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　　[B]4．证明不等式，求最大值和最小值[/B]
　　用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．
　　

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是多少？
　　

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(x-3)2+(kx-3)2=6，
　　即 　　　　　　　(k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，
　　将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数，所以
△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0，
　　即 　　　　k2-6k+1≤0． ①
　　

　
　

　　

　

　
　　

　　[B]解[/B] 由于
　　

　　所以 yx2+(y-2)x+y=0，
　　上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数，所以
△=(y-2)2-4y2≥0，
　　即　　　　　3y2+4y-4≤0，
(3y-2)(y+2)≤0．
　　

　　当y=-2时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1时，y=


　
　　[B]例10 [/B]实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式
-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10，
　　

　　[B]证[/B] 因为对任何实数t，有
-t2+2t=-(t-1)2+1≤1，
9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1，
　　当t=1时，便有
1≤ab+bc+ca≤1，
　　所以　　　　　　　ab+bc+ca=1．
　　由于a+b=2-c，于是
ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，
　　于是a，b是一元二次方程
t2-(2-c)t+(c-1)2=0
　　的两个实数根．所以
△=(2-c)2-4(c-1)2≥0，
　　即 3c2-4c≤0，
　　

[B]
练习九
[/B]
　　1．选择：
　　(1)某一元二次方程根的判别式△=2m2-6m+5，此方程根的情况是[　　]
　　(A)有两个不相等的实根
　　(B)有两个相等的实根
　　(C)没有实根
　　(D)由实数m的值而定
　　(2)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[　　]
　　

　　(3)如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为 [　　]
　　(A)2个 　　　　　　(B)1个
　　(C)0个 　　　　　　(D)不确定
　　(4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有 [　　]
　　(A)1组 　　　　　　(B)2组
　　(C)4组 　　　　　　(D)无数组
　　(5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [　　]
　　(A)△＞M 　　　　　　(B)△=M
　　(C)△＜M 　　　　　　(D)不确定
　　2．填空：
　　(1)关于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0
　　恰有一个实根，则a=____．
　　(2)设m是不为0的整数，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=____．
　　(3)当m=____时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0
　　有两个不等的实数根．
　　(4)p，q是正数，如果方程x2+px+q=0的两个根之差是1，那么p=____．
　　(5)若x为实数，且有4y2+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是____．
　　3．求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的实数解．
　　4．解方程组
　　　　　　　

　　
　　5．已知a，b是整数，x2-ax+3-b=0有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值．
　　6．已知a是实数，且关于x的方程x2-ax+a=0有两个实根u，v，求证：u2+v2≥2(u+v)．