2015中考数学复习指导 勾股定理解法指导

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　　勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．
        　　勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2
        　　那么这个三角形是直角三角形．
        　　早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．
        　　关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
        　　证法1如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
        　　过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
        　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
       

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        　　所以 SAEML=b2． ①
        　　同理可证 SBLMD=a2． ②
        　　①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
        　　即 c2=a2+b2．
        　证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
        　　所以AG=GH=HB=AB=c，
         
       

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        证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
       
         
        △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
        　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC， ①
            另一方面
        　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②由①，②
        　　

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        所以 c2=a2+b2．
       
                　　关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
       
                　　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
       
                　　定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．
       
               

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                　　证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
                　　AB2=AD2+BD2， ①
                　　在直角三角形ACD中，
                　　AD2=AC2-CD2， ②又
                　　BD2=(BC-CD)2， ③②，③代入①得
                　　AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
                　　　=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD
                　　　=AC2+BC2-2BC?CD，即
                　　c2=a2+b2-2a?CD． ④
                　　(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，
               
                　　AB2=AD2+BD2， ⑤
                　　在直角三角形ACD中，
               

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                　　AD2=AC2-CD2， ⑥又
                　　BD2=(BC+CD)2， ⑦将⑥，⑦代入⑤得
                　　AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
                　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD
                　　　=AC2+BC2+2BC?CD，即
                　　c2=a2+b2+2a?cd． ⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论
                　　

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                 特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
                　　因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
                　　由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
                　　(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；
                　　(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；
                　　(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
                　　勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用

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                  例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
               
               

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                　　分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
                　　证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
                　　所以 AF=AB． ①
                　　在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所AG=FG，
                　　AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
                　　由①，②得AB2=2FG2．
                　　说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
                　例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
               

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                　　证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，
                　　AB2=AM2+BM2+2BM?MD． ①
                　　在△ACM中，
                　　AC2=AM2+MC2-2MC?MD． ②
                　　①+②，并注意到MB=MC，所以
                　　AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
                　　如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
                　　推论 △ABC的中线长公式：
                　　

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                　　说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．
               
               
               
                c2=a2+b2．