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中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法

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发表于 2016-6-28 21:41:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
  一元二次方程是中学代数的重要内容之一,是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础,其内容非常丰富,本讲主要介绍一元二次方程的基本解法.方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程.
          一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法.
          对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),△=b2-4ac称为该方程的根的判别式.当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即
       

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          当△=0时,方程有两个相等的实数根,即

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          当△<0时,方程无实数根.
          

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          分析 可以使用公式法直接求解,下面介绍的是采用因式分解法求解.
          

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          因为
          

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          所以
          

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          2已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a,方程x2+1998x-1999=0的较小根为β,求α-β的值.
           由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0,
          

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(x+1999)(x-1)=0,
          故x1=-1999,x2=1,所以β=-1999.所以α-β=1-(-1999)=2000
       
               例3解方程:(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1).
          分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1),将方程变为3x-1=4x+1,
          所以x=-2,这样就丢掉了x=1这个根.故特别要注意:用含有未知数的整式去除方程两边时,很可能导致方程失根.本题正确的解法如下.
           (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0,
          (x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0,
          (x-1)(x+2)=0,
          所以 x1=1,x2=-2.
          4 解方程:x2-3|x|-4=0.
          分析 本题含有绝对值符号,因此求解方程时,要考虑到绝对值的意义.
          解法1 显然x≠0.当x>0时,x2-3x-4=0,所以x1=4,x2=-1(舍去).当x<0时,x2+3x-4=0,所以x3=-4,x4=1(舍去).
          所以原方程的根为x1=4,x2=-4.
          解法2 由于x2=|x|2,所以
          |x|2-3|x|-4=0,
          所以 (|x|-4)(|x|+1)=0,
          所以 |x|=4,|x|=-1(舍去).
          所以 x1=4,x2=-4.
          5 已知二次方程
          3x2-(2a-5)x-3a-1=0
          有一个根为2,求另一个根,并确定a的值.
           由方程根的定义知,当x=2时方程成立,所以
          3×22-(2a-5)×2-3a-1=0,
          故a=3.原方程为
          3x2-x-10=0,即(x-2)(3x+5)=0,
          

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          6解关于x的方程:ax2+c=0(a≠0).
          分析 含有字母系数的方程,一般需要对字母的取值范围进行讨论.
          

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          当c=0时,x1=x2=0;
          

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          当ac>0(即a,c同号时),方程无实数根.
       
         7 若k为正整数,且关于x的方程
          (k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0
          有两个不相等的正整数根,求k的值.
           原方程变形、因式分解为
          (k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0,
          [(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0,
          即

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4,7.所以k=2,3使得x1,x2同时为正整数,但当k=3时,x1=x2=3,与题目不符,所以,只有k=2为所求.
          8 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β,且|α|+|β|≤6,确定m的取值范围.
           不妨设方程的根α≥β,由求根公式得

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        |α|+|β|=α+β=5<6,   符合要求,所以m2≤1.
          

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           设小球摆成正三角形时,每边有x个球,则摆成正方形时每边有(x-2)个球.此时正三角形共有球

         
          此时正方形共有(x-2)2个球,所以

         
          即 x2-9x+8=0,x1=1,x2=8.
          因为x-2≥1,所以x1=1不符合题意,舍去.所以x=8,此时共有球(x-2)2=36个.
       
       
       
         9有若干个大小相同的球,可将它们摆成正方形或正三角形,摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球,求球的个数.
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