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2015最新数学知识巩固篇三角形垂心的基础公式

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论坛元老

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发表于 2016-6-28 21:43:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
三角形的重心
        已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证:F为AB中点。
        证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
        重心的几条性质:
        1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
        2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
        3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
        4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3
        5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
        如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。
        如图,在△ABC中,AD、BE、CF是中线
        则AF=FB,BD=DC,CE=EA
        ∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
        ∴AD、BE、CF交于一点
        即三角形的三条中线交于一点
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