中考论坛

 找回密码
 立即注册
查看: 21|回复: 0

2018中考数学:梯形辅助线的作法

[复制链接]

31万

主题

31万

帖子

94万

积分

论坛元老

Rank: 8Rank: 8

积分
948968
发表于 2018-6-12 22:29:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

  • 153251_5ae423a3ddb2729.gif

    153251_5ae423a3ddb2729.gif


                     
              一、平移一腰
              过梯形的一个顶点作一腰的平行线,构造一个三角形和一个平行四边形,能使分散的条件集中起来,为解决梯形问题创造条件。
              例1如图1,等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长,那么这个梯形较小的一个内角是
              A、90°B、60°C、45°D、30°
              解析:由条件“两底之差等于一腰的长”,可平移一腰。如图2所示,平移DC到AE,AE交BC于E。可知BE=BC-AD=AB。又AB=DC=AE,故AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°。故选B。
              二、平移两腰
              平移两腰,使两腰交于短底上一点,把梯形转化为两个平行四边形和一个三角形,进而解决问题。
              例2如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC。E、F分别为AD、BC的中点,且EF⊥BC。求证:∠B=∠C。
              解析:要证∠B=∠C,可把它们移到同一个三角形中,利用等腰三角形的有关性质加以证明。
              过点E作EH∥AB,EG∥DC,分别交BC于H、G(如图4)。
              ∵AD∥BC,∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形(两组对边平行)。
              ∴AE=BH,ED=GC。
              又E、F分别为AD、BC的中点,所以AE=ED,BF=FC。
              ∴BH=GC,BF-BH=FC-GC,从而HF=FG。
              又EF⊥BC,所以EH=EG,故∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。
              评析:题目中若有连接两底上点的线段,通常要平移两腰。
              三、平移对角线
              过梯形底边的一个端点作某一条对角线的平行线,可以构造出一个三角形和一个平行四边形,引出解题思路。
              例3在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BC,且AC=5cm,BD=12cm,则梯形中位线的长等于
              A、7.5cmB、7cmC、6.5cmD、6cm
              解析:由对角线垂直,可平移一条对角线(比如AC),构造出Rt△BDE和ACED(如图5)。由勾股定理可知BE=13cm,从而得到梯形中位线的长等于BE的一半,即为6.5cm。故选C。
              四、延长两腰
              延长两腰相交于一点,可构造两个三角形,再利用这两个三角形的性质解决问题。
              例4在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD+BC=30,BD平分∠
              ABC。求梯形的周长。
              解析:延长两腰相交于点E,如图6,因∠ABC=∠BCD=60°,故∠E=60°。△BCE为等边三角形。又BD平分∠ABC,所以BD垂直平分CE。
              所以CD=。又AD∥BC,故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。
              ∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。
              五、作梯形的高
              过梯形短底的两个端点作梯形的高,把梯形分成两个直角三角形和一个矩形,可使解题思路明朗化。
              例5已知等腰梯形的一个内角为60°,它的上底是3cm,腰长是4cm,则下底是。
              解析:如图7,梯形ABCD中,∠B=∠C=60°,AD=3cm,AB=DC=4cm,过点A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F。则有∠BAE=∠CDF=30°,BE=FC=AB=2cm,
              ∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm),即为所求。
              六、连接两腰中点
              若题目中有一个或两个腰的中点,可尝试连接梯形两腰的中点,得到梯形的中位线,利用中位线的性质解题。
              例6在梯形ABCD中,AB∥CD,点M为BC的中点,DM平分∠ADC。求证AM平分∠DAB。
              解析:如图8,取DA的中点N,连接MN,则MN∥CD,MN∥AB。所以∠NMD=∠MDC=∠MDN。故NM=ND=AN,∠NAM=∠NMA=∠MAB。故AM平分∠DAB。
              练习
              1、等腰梯形两底差的一半等于它的高,那么这个梯形的一个内角是。
              A、75°B、60°C、45°D、30°
              2、如图9,已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,M、N分别是AB、CD的中点。求证:MN=(AB-CD)。
              3、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,求此梯形的高。
              4、如图10,在梯形ABCD中,∠DCB=90°,AB∥DC,AB=25,BC=24。将该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕。那么,AD的长为。
              5、例6变式练习:条件不变,结论改变。求证:(1)AM⊥DM;(2)AB+CD=AD。
              提示:1、利用第五种作法。2、利用第二种作法,并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3、利用第三种作法,由勾股定理逆定理得出直角三角形,并利用面积公式(a、b为直角边长,c为斜边长,h是斜边上的高)。4、先在Rt△BCD中求出DC,再自D作DF⊥AB于F。在Rt△ADF中求AD。
  • 回复

    使用道具 举报

    您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

    本版积分规则

    小黑屋|手机版|Archiver|新都网 ( 京ICP备09058993号 )

    GMT+8, 2018-8-18 18:15 , Processed in 0.066345 second(s), 9 queries , WinCache On.

    Powered by Discuz! X3.4

    © 2001-2017 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表