2019年中考数学复习:次/二次函数性质

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　　一次函数
       
        　　一、定义与定义式：
       
        　　自变量x和因变量y有如下关系：
       
        　　y=kx+b
       
        　　则此时称y是x的一次函数。
       
        　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
       
        　　即：y=kx （k为常数，k≠0）
       
        　　二、一次函数的性质：
       
        　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
       
        　　即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）
       
        　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
       
        　　三、一次函数的图像及性质：
       
        　　1．作法与图形：通过如下3个步骤
       
        　　（1）列表；
       
        　　（2）描点；
       
        　　（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
       
        　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
       
        　　3．k，b与函数图像所在象限：
       
        　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
       
        　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
       
        　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；
       
        　　当b=0时，直线通过原点
       
        　　当b＜0时，直线必通过三、四象限。
       
        　　特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
       
        　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
       
        　　四、确定一次函数的表达式：
       
        　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
       
        　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
       
        　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②
       
        　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
       
        　　（4）最后得到一次函数的表达式。
         

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        　　五、一次函数在生活中的应用：
       
        　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
       
        　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
       
        　　六、常用公式：
       
        　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
       
        　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
       
        　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
       
        　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
       
        　　二次函数
       
        　　一、定义与定义表达式
       
        　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
       
        　　y=ax^2+bx+c
       
        　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a

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        　　则称y为x的二次函数。
       
        　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
       
        　　二、二次函数的三种表达式
       
        　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
       
        　　顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
       
        　　交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]
       
        　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
       
        　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
       
        　　三、二次函数的图像
       
        　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
       
        　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
       
        　　四、抛物线的性质
       
        　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
       
        　　x= -b/2a。
       
        　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
       
        　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
       
        　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
       
        　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
       
        　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
       
        　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
       
        　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

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        　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
       
        　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
       
        　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
       
        　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
       
        　　抛物线与y轴交于（0，c）
       
        　　6.抛物线与x轴交点个数
       
        　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
       
        　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
       
        　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
       
        　　五、二次函数与一元二次方程
       
        　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
       
        　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
       
        　　即ax^2+bx+c=0
       
        　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
       
        　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
       
        　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
       
        　　解析式 顶点坐标对 称 轴
       
        　　y=ax^2(0，0) x=0
       
        　　y=a(x-h)^2(h，0) x=h
       
        　　y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h
       
        　　y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
       
        　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
       
        　　当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
       
        　　当h>0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
       
        　　当h

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        　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
       
        　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|
       
        　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；
       
        　　当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a0(a