三角函数公式大全

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　　锐角三角函数公式
        　　sin α=∠α的对边 / 斜边
        　　cos α=∠α的邻边 / 斜边
        　　tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边
        　　cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边
        　　倍角公式
        　　Sin2A=2SinA?CosA
        　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
        　　tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）
        　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）
        　　三倍角公式
        　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
        　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
        　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
        　　三倍角公式推导
        　　sin3a
        　　=sin(2a+a)
        　　=sin2acosa+cos2asina
       
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zkfive

       
  
                 
        　　辅助角公式
        　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
        　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
        　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
        　　tant=B/A
        　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
        　　降幂公式
        　　sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
        　　cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
        　　tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
        　　推导公式
        　　tanα+cotα=2/sin2α
        　　tanα-cotα=-2cot2α
        　　1+cos2α=2cos^2α
        　　1-cos2α=2sin^2α
        　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
        　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
        　　=3sina-4sin³a
        　　cos3a
        　　=cos(2a+a)
        　　=cos2acosa-sin2asina
        　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa
        　　=4cos³a-3cosa
        　　sin3a=3sina-4sin³a
        　　=4sina(3/4-sin²a)
        　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]
        　　=4sina(sin²60°-sin²a)
        　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
        　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
        　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
        　　cos3a=4cos³a-3cosa
        　　=4cosa(cos²a-3/4)
        　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²]
        　　=4cosa(cos²a-cos²30°)
        　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
        　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
        　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
        　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
        　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
        　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
        　　上述两式相比可得
        　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
       
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zkfive

       
  
                 
        　　半角公式
        　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
        　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
        　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
        　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
        　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
        　　三角和
        　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
        　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
        　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
        　　两角和差
        　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
        　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
        　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
        　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
        　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
        　　和差化积
        　　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
        　　sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
        　　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
        　　cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
        　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
        　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
       
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zkone

       
  
                 
        　　积化和差
        　　sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2
        　　cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
        　　sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
        　　cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
        　　诱导公式
        　　sin(-α) = -sinα
        　　cos(-α) = cosα
        　　tan (—a)=-tanα
        　　sin(π/2-α) = cosα
        　　cos(π/2-α) = sinα
        　　sin(π/2+α) = cosα
        　　cos(π/2+α) = -sinα
        　　sin(π-α) = sinα
        　　cos(π-α) = -cosα
        　　sin(π+α) = -sinα
        　　cos(π+α) = -cosα
        　　tanA= sinA/cosA
        　　tan（π/2＋α）＝－cotα
        　　tan（π/2－α）＝cotα
        　　tan（π－α）＝－tanα
        　　tan（π＋α）＝tanα
        　　诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
       
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zkthree

       
  
                 
        　　万能公式
        　　sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］
        　　cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］
        　　tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］
        　　其它公式
        　　(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1
        　　(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
        　　(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
        　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
        　　(4)对于任意非直角三角形,总有
        　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
        　　证:
        　　A+B=π-C
        　　tan(A+B)=tan(π-C)
        　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
        　　整理可得
        　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
        　　得证
        　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
        　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
        　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
        　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
        　　(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
        　　(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
        　　(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
        　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
        　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
        　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
       
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