初中数学复习：和差化积公式推导

中考网

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
        我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
        所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
        同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
        同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
        所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
        所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
        同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
        这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
        sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
        cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
        cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
        sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
        好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
        我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
        把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
        sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
        sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
        cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
        cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)