学习方法：构造法在初中数学解题中的应用

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　　［摘要］：本文根据初中数学问题的特征，针对新课标的要求，对构造法在初中数学解题中有着重要的作用。从"构造方程、构造函数、构造图形、构造矛盾"等几个方面来叙述如何运用构造法解题。通过运用构造法解题，是培养学生创造意识和创造新思维的重要手段之一，有利于提高学生的分析问题和解决问题的能力。它也是解决数学问题的基本思想方法之一。
　　［关键词］：构造 解题 思维能力
　　所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：
　　一、构造方程
　　构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
　　1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
　　例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
　　解：原方程整理得（a-4）x=15-b
　　∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0
　　分别解得a=4，b=15
　　2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

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　　3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
　　例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求

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的值。
　　分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出

的值。

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　　二、构造几何图形
　　1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
　　例4：已知

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，则x 的取值范围是（）
　　A    1≤x≤5   B x≤1    C1＜x＜5   D x≥5
　　分析：根据绝对值的几何意义可知：

表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数 的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ x≤5，故选A。

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　　2、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
　　例5：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝AC

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　　分析：若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。因此，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ， △AFC为等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD为等腰三角形,因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。

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　　三、构造函数模型，解数学实际问题
　　在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。
　　例6：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
　　（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
　　（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
　　解；（1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x）件，由题意得：

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　　解得：30≤x≤32
　　∵ x是正整数
　　∴ x＝30或31或32
　　∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。
　　（2）由题意得；y＝700x+1200（50-x）=-500x+60000
　　∵ y随x的增大而减小
　　∴当x＝30时，y有最大值，最大值为：＝45000（元）
　　答：y与x之间的函数关系式为：y＝-500x+60000，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。

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　　四、构造矛盾法
　　构造矛盾法即构造反例。所谓反例就是符合命题条件而又不符合命题结论的例子。这种例子推倒出命题的矛盾，有力地否定了命题成立的可能性。
　　例7：设a，b，c都是实数，考虑如下命题：
　　（1）若a²+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；
　　（2）若c＞1，且0＜b＜2，则a²+ab+c＞0；
　　（3）若0＜b＜2，且a²+ab+c＞0，则c＞1；
　　试判断哪些命题正确，哪些命题不正确。对你认为正确的命题给出证明；认为不正确的命题，用反例予以否定。
　　分析：命题（1）不正确，构造反例如下：
　　令b=4，c=5，此时a²+ab+c=a²+4a+5=（a+2）² +1＞0且c＞1，满足条件，但结论0＜b＜2不成立。
　　命题（2）成立。证明：a²+ab+c=a²+2（0.5b）a+（0.5b）²-（0.5b）²+ c=（a+0.5b）² +(c-0.25b)
　　因为0＜b＜2，所以 0＜0.25b＜0.5且c＞1，c-0.25b＞0，因此a²+ab+c=（a+0.5b）² +(c-0.25b)＞0. 即命题成立。
　　命题（3）不成立。令b=1，c=0.5，此时0＜b＜2，且a²+ab+c=a²+a+0.5=（a+0.5）² +0.25＞0，满足条件，但结论c＞1不成立。
　　综上所述，构造法在数学问题的解决中，不仅显得灵活、简便，，而且也往往是发现问题，找到解决问题途径、方法的钥匙。在平时教学中，学生在掌握基础知识之余，应加强启发式的教学。我们可从多角度启发学生思维多变，从而培养学生发散思维。也可培养学生创新能力、实施素质教育的重要载体。