三角函数公式推导过程

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　　万能公式推导
       
        　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
       
        　　（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
       
        　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
       
        　　然后用α/2代替α即可。
       
        　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
       
        　　三倍角公式推导
       
        　　tan3α=sin3α/cos3α
       
        　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
       
        　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
       
        　　上下同除以cos^3(α)，得：
       
        　　tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
       
        　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
       
        　　=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα
       
        　　=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)
         

zksix

       
  
                 
       
       
        　　=3sinα－4sin^3(α)
       
        　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
       
        　　=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
       
        　　=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))
       
        　　=4cos^3(α)－3cosα
       
        　　即
       
        　　sin3α=3sinα－4sin^3(α)
       
        　　cos3α=4cos^3(α)－3cosα
       
        　　和差化积公式推导
       
        　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
       
        　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
       
        　　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
       
        　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
       
        　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
       
        　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
       
        　　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
       
        　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
         

zkone

       
  
                 
       
       
        　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
       
        　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
       
        　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
       
        　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
       
        　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
       
        　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
       
        　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
       
        　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
       
        　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
       
        　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
       
        　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
       
        　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)