2015年中考数学二次函数知识点：选择题及解析八

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　　一、选择题
       
        　　8.（2014o孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
       
        　　①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
       
        　　其中正确结论的个数为（）
       
        　　A．1个B．2个C．3个D．4个
       
        　　考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点
       
        　　专题：数形结合．
       
        　　分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
       
        　　解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，
       
        　　∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
       
        　　∵顶点为D（﹣1，2），
       
        　　∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
       
        　　∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
       
        　　∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
       
        　　∴当x=1时，y＜0，
       
        　　∴a+b+c＜0，所以②正确；
       
        　　∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
       
        　　∴a﹣b+c=2，
       
        　　∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
       
        　　∴b=2a，
       
        　　∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
       
        　　∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
       
        　　即只有x=1时，ax2+bx+c=2，
       
        　　∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
       
        　　故选C．
       
        　　点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．