中考精华压轴题一道

中考网 · 发表于 2016-7-8 12:54:57

　　某旅游胜地欲开发一座景观山。从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上。以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）。已知AB所在的抛物线解析式为y=-1/4x^+8，BC所在的抛物线解析式为y=1/4(x-8)^，且已知B（m，4）。
　　（1）设P（x，y）是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
　　（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶。这种台阶每级高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶上的两端点在坡面上（见图）.
　　①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
　　②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
　　（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站。索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600（米）。假设索道站DE可近似的看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y=1/28(x-16)^。试求索道站的最大悬空高度。
　　（注：^表示2次方）

zkfour · 发表于 2016-7-8 14:02:17

　　答案：

　　（1）∵AB所在的抛物线解析式为y=-1/4x2+8且y＞0∴x=√（32-4y）=2√（8-y）

　　当y=4时，x=4∴B为（4，4）

　　（2）①∵当x=0时，y=-1/4x2+8=8∴A为（0，8），

　　20厘米=0.002百米，

　　当y=8-0.002时，x=2√（8-y）=0.04√5百米≈894厘米，

　　当y=8-0.002×2时，x=2√（8-y）=0.04√10百米≈1265厘米，1265-894=371厘米。

　　当y=8-0.002×3时，x=2√（8-y）=0.04√15百米≈1549厘米，1549-1265=284厘米

　　分别求得前三级台阶的长度约为894厘米、371厘米、284厘米

　　②∵台阶每级长度不小于20厘米，

　　∴第n级台阶长度=0.04√（5n）-0.04√[5(n-1)]≥0.002∴√n-√（n-1）≥0.01√5

　　∴n≤501，∴这种台阶不能一直铺到山脚

　　（当y=8-0.002×501时，x=2√（8-y）≈2.002百米=20020厘米；当y=8-0.002×502时，x=2√（8-y）≈2.003996百米=20039.96厘米，20039.96-20020=19.96厘米＜20厘米)

　　（3）设索道站的悬空高度为w

　　则w=1/28(x-16)2-1/4(x-8)2∴w最大值=8/3，索道站的最大悬空高度8/3百米

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